BOOK SUPPORT

『AI・データサイエンスのための数学入門』
学習補助資料

各節の理解を補うための解説・具体例・図・練習問題などを順次公開します。

小沢 誠 著朝倉書店A5判・352ページISBN 978-4-254-11165-1

本ページは、朝倉書店刊『AI・データサイエンスのための数学入門』の著者によるサポートページです。

補助資料は本文の内容を置き換えるものではなく、授業・自習での理解を深めるための追加資料として公開しています。各節の右側にある「補助資料 PDF」から閲覧できます。

朝倉書店：書籍情報駒大PLUS著者Webページ
第I部

微分積分：変化する世界を「予測」する言葉

第1章関数：現象をモデル化する

1.1関数の概念：変数間の関係の記述
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1.2基本的な関数モデル：事象の傾向の記述
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1.3対数とネイピア数：大きなスケールの数値の取り扱い
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1.4グラフの役割：経済と社会の可視化
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第2章数列と極限：データを扱うための基礎

2.1数列と一般項：数の並びの規則の定式化
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2.2総和記号Σと総乗記号Π：和と積の簡潔な記述
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2.3数列の応用：複利計算と割引現在価値の数理
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2.4極限の概念：値の収束の取り扱い
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第3章微分：瞬間の変化率の記述

3.1微分の基礎：平均変化率から瞬間変化率へ
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3.2微分計算の基本法則と基本関数の導関数
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3.3積の微分法則と連鎖律：複雑な関数の変化率
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3.4限界費用と限界効用：追加1単位の考え方
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第4章微分法の応用：最適化問題へのアプローチ

4.1関数の増減とグラフの形状：全体像の把握
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4.2最適化問題：関数の最大値・最小値の導出
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4.3第二次導関数と変曲点：変化率の最大化
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4.4テイラー展開：多項式による関数の近似
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第5章積分：変化の集積による全体量の把握

5.1不定積分と原始関数：微分の逆演算
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5.2定積分：微小量の集積による全体量の算出
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5.3積分の計算法：面積の算出と応用手法
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5.4市場均衡と余剰分析：限界概念の応用
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第6章微分方程式：時間発展と相互作用の数理モデル

6.1微分方程式の基本概念：変化の法則の記述
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6.2指数関数的成長モデル：変数に比例する変化率
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6.3ロジスティック曲線：上限を伴う成長モデル
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6.4捕食者・被食者モデル：種の相互作用の定式化
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第7章多変数関数の微分法と最適化：機械学習への応用

7.1多変数関数：複数の変数で記述されるモデル
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7.2偏微分と勾配：多変数関数の微分
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7.3勾配降下法：機械学習における最適化アルゴリズム
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7.4誤差逆伝播法：多層モデルにおける勾配の効率的計算
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第II部

線形代数：多次元の情報を「加工」する技術

第8章行列とベクトル：多次元データの表現と演算

8.1行列の基礎：データの集合表現
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8.2ベクトルの定義：向きと大きさを持つ量
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8.3行列とベクトルの乗法：線形変換と演算の構造
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8.4データ行列：構成と集計・演算
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第9章写像と線形性：変換の数学的構造

9.1線形性の定義：関数から写像への拡張
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9.2線形変換：幾何学的解釈と空間の操作
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9.3ベクトル空間の構造：基底、次元、部分空間
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9.4線形写像の構造：像、核、次元定理
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第10章連立一次方程式とその応用：掃き出し法・階数・PageRank

10.1連立一次方程式の基礎：消去法と幾何学的解釈
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10.2掃き出し法と行基本変形：拡大係数行列による一般解法
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10.3連立一次方程式の解の分類：階数と自由度
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10.4PageRank：ネットワーク解析への線形代数的応用
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第11章行列の基本性質：行列式・逆行列・累乗

11.1幾何学的変換：行列による空間の操作
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11.2行列式の幾何学的意味：面積および体積の拡大率
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11.3逆行列：線形変換の可逆性
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11.4ケーリー・ハミルトンの定理：行列の代数的性質とその応用【発展】
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第12章内積とノルム：データの類似度と距離の計量

12.1ノルムと内積：ベクトルの大きさ・距離・向きの計量
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12.2正射影と最小二乗法：直交性による最良近似
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12.3コサイン類似度：ベクトルの方向に基づく類似度の計量
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12.4k-近傍法とクラスタリング：近接性に基づくデータ解析
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第13章固有値と固有ベクトル：変換の本質を捉える

13.1固有値と固有ベクトル：定義と代数的な導出
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13.2行列の対角化：計算の簡略化とその応用
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13.32次形式の標準化：行列による幾何学的分類
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13.4主成分分析（PCA）：多変量解析における次元削減
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第14章線形代数の応用：データ表現と次元圧縮

14.1画像データの解析：行列表現と線形演算
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14.2特異値分解（SVD）：行列の構造を読み解く
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14.3低ランク近似と次元圧縮：主要な構造を取り出す
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14.4データ表現の応用：推薦システム
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第III部

確率・統計：不確実な未来を「判断」する科学

第16章データの記述と要約：統計量の基礎

16.1度数分布とヒストグラム：データの分布の把握
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16.2代表値：平均値・中央値・最頻値による要約
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16.3分散と標準偏差：データの散らばりの定量化
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16.4データの標準化：偏差値とZスコアの算出
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第17章確率論の基礎：不確実性の定式化

17.1古典的確率の定義：同様に確からしい事象のモデル化
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17.2順列と組み合わせ：場合の数の算定
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17.3確率の演算と情報の更新：余事象・条件付き確率・ベイズの定理
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17.4確率変数と分布の指標：期待値と分散
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第18章確率分布：データのばらつきをモデル化する

18.1二項分布：離散的な事象の確率モデル
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18.2ポアソン分布：希少事象の確率モデル
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18.3正規分布：連続的なデータのモデル化と統計的推測の基礎
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18.4極限定理：大数の法則と中心極限定理
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第19章統計的推測：標本に基づく母集団の推定

19.1統計的推定：点推定と推定量の概念
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19.2区間推定：信頼区間の定義と解釈
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19.3仮説検定：統計的推測の論理構造
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19.4相関と回帰分析：変数間の関係性のモデル化
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第20章時系列分析：過去のデータに基づく予測

20.1時系列データの成分分解：トレンド、季節性、不規則成分
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20.2移動平均：時系列データの平滑化
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20.3自己相関：時系列データにおける周期性の評価
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20.4自己回帰モデル：過去の値に基づく時系列予測
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第21章確率・統計の応用：予測と推測の数理

21.1条件付き確率とベイズ推論：データから確率を更新する
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21.2回帰と予測：データから未来を読む
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21.3分類モデルの基礎：決定木と確率的分類
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21.4モデル評価と汎化性能：未知データに通用する力を測る
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第22章生成AIを支える数理：基礎数学の総合としての言語モデル

22.1生成AIを1つの数理モデルとして見る
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22.2ベクトル表現と確率化：埋め込み、線形変換、softmax
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22.3attention：内積、確率重み、文脈の合成
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22.4学習の基本：損失関数、勾配、パラメータ更新
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